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●組分けする場合の数
もう少し分かりやすく、まとめなおしてみます。
異なるn個のものを異なるk組に分ける方法の数(0個の組なし、定員不定)M(k,n)は、
M(k,n)=k^n-(kCk-1)M(k-1,n)-…-(kC3)M(3,n)-(kC2)M(2,n)-(kC1)M(1,n)
M(1,n)=1
これから、k=2,3,4と次々に求めていくと
M(2,n)=2^n-(2C1)M(1,n)=2^n-2*1=2^n-2
M(3,n)=3^n-(3C2)M(2,n)-(3C1)M(1,n)=3^n-3(2^n-2)-3*1=3^n-3*2^n+3
M(4,n)=4^n-(4C3)M(3,n)-(4C2)M(2,n)-(4C1)M(1,n)
=4^n-4(3^n-3*2^n+3)-6(2^n-2)-4*1
=4^n-4*3^n+6*2^n-4
∴M(4,6)=4^6-4*3^6+6*2^6-4=1560
ちなみに、一般式はこうなりそうです。o(^-^)o
M(k,n)=Σ[j=0,k-1](-1)^j (kCk-j)(k-j)^n)=Σ[j=0,k](-1)^j (kCj)(k-j)^n
はてな記法を使うと次の通りです。形が綺麗なのでどこかの公式集を探せばありそうですね。(^_^;
やっぱり、公式集にあるようですね。第2種スターリング数に関連があるようです。(^_^;
※参考URL
http://q.hatena.ne.jp/1305635262
https://manabitimes.jp/math/841
http://zakii.la.coocan.jp/enumeration/11_stirling_partition.htm
https://q.hatena.ne.jp/1639295402
●組み分け全パターン
●スターリング数 - Wikipedia
●第二種スターリング数の問題 [PDF] ←(4)式参照
r!で割っているということは、第2種スターリング数の場合、組に区別がないということかな!?
●『離散数学「数え上げ理論」』 野崎昭弘著