ネットで見つけたラングレーの問題を三角関数で解いてみました。
問題の設定や図は、次の通りです。ここでは、xも与えられていて、証明問題になっています。(^_^;
a = 38°, b = 46°, c = 22°, d = 48°; x = 18°?
このとき、e = 180°-(46+22+48)°= 64°, f = 180°-(38+46+22)°= 74°
前回と同様に、x,yの連立方程式を立てて、変数部分と定数部分P,Qに分けると、
x=18°のとき、(1)式から、y=68-18=50°
これらを(2)式に代入して、両辺の分母を払って、
結局、この等式の左辺lhsと右辺rhsの差D=0を示せばよい。
ここで、三角関数の積和の公式を数回連続で使って導いた次の公式を使います。(^_^;
sin(a)cos(b) = (1/2) {sin(a+b)+sin(a-b)} sin(a)cos(b)cos(c) = (1/4) {sin(a+b+c)+sin(a+b-c)+sin(a-b+c)+sin(a-b-c)} sin(a)cos(b)cos(c)cos(d) = (1/8) {sin(a+b+c+d)+sin(a+b+c-d)+sin(a+b-c+d)+sin(a+b-c-d) +sin(a-b+c+d)+sin(a-b+c-d)+sin(a-b-c+d)+sin(a-b-c-d)}
∴
ちなみに、
P.S.
8D=8lhs-8rhs以下の式変形が難しかったら、
公式 sin(x)=sin(x+60゚)+sin(x-60゚)で、項数を5個まで減らせたら、
公式 sin(x)=sin(x+36゚)+sin(x-36゚)-sin(x+72゚)-sin(x-72゚)を使うとよいです。
P.S.
[x]=sin(x゚)と略記すると、
8lhs=[60]+[88]+[36]+[4]+[32]-[52]-[84]
8rhs=[40]+[88]+[60]+[8]+[36]-[16]-[44]-[84]
∴8D=8lhs-8rhs
=[4]+[32]-[52]-[40]-[8]+[16]+[44]
=[4]+[32]-[40]+[16]+[44]-[68] (∵[8]=[68]-[52])
=[4]+[32]-[40]-[68]+[76] (∵[16]=[76]-[44])
=0 (∵[4]=[4+36]+[4-36]-[4+72]-[4-72]=[40]-[32]-[76]+[68])
ちなみに、他も同様。
[32]=[32+36]+[32-36]-[32+72]-[32-72]=[68]-[4]-[76]+[40]
※参考URL
●[幾何大王からの挑戦状] 角度の問題#36
●Angular Angst - MathPages
●Langleyの問題をJavaで解いてみた。
●Langleyの問題を三角関数で解いてみた。
●sin(3°)系列
●sin(3°)系列 (2)
P.S.
ちょっと、ネットで検索して見つけた1変数の式を使って解いてみます。以下、三角関数の単位は[°]で、省略します。
sin(a)sin(c)sin(b+c+d-x) = sin(a+b)sin(d)sin(x)
∴sin(38)sin(22)sin(46+22+48-x) = sin(38+46)sin(48)sin(x)
∴sin(38)sin(22)sin(116-x) = sin(84)sin(48)sin(x)
∴sin(38)sin(22)sin(116-18) = sin(84)sin(48)sin(18)
∴sin(22)sin(38)sin(82) = sin(18)sin(48)sin(84)
結局、この等式の左辺lhsと右辺rhsの差D=0を示せばよい。
ここで、今回は、積も和も全部+のcosだけの式になる三角関数の積和の公式を用いてみます。(^_^;
cos(a)cos(b) = (1/2) {cos(a+b)+cos(a-b)} cos(a)cos(b)cos(c) = (1/4) {cos(a+b+c)+cos(a+b-c)+cos(a-b+c)+cos(a-b-c)} cos(a)cos(b)cos(c)cos(d) = (1/8) {cos(a+b+c+d)+cos(a+b+c-d)+cos(a+b-c+d)+cos(a+b-c-d) +cos(a-b+c+d)+cos(a-b+c-d)+cos(a-b-c+d)+cos(a-b-c-d)}
4lhs=4cos(90-22)cos(90-38)cos(90-82)=4cos(68)cos(52)cos(8)
=+cos(68+52+8)+cos(68+52-8)+cos(68-52+8)+cos(68-52-8)
=+cos(128)+cos(112)+cos(24)+cos(8)
=-cos(52)-cos(68)+cos(24)+cos(8)
4rhs=4cos(90-18)cos(90-48)cos(90-84)=4cos(72)cos(42)cos(6)
=+cos(72+42+6)+cos(72+42-6)+cos(72-42+6)+cos(72-42-6)
=+cos(120)+cos(108)+cos(36)+cos(24)
=-cos(60)-cos(72)+cos(36)+cos(24)
∴4D=4lhs-4rhs
={-cos(52)-cos(68)+cos(24)+cos(8)}-{-cos(60)-cos(72)+cos(36)+cos(24)}
={-cos(52)-cos(68)+cos(8)}-{-cos(60)-cos(72)+cos(36)}
={-cos(8)+cos(8)}-{-cos(60)+cos(60)}=0
∵
cos(8)=cos(60+8)+cos(60-8)=cos(52)+cos(68)
cos(60)=cos(60+36)+cos(60-36)-cos(60+72)-cos(60-72)=cos(36)-cos(72)
※公式集(ただし、単位は、[°])
P.S.
証明は、たとえば、積和公式2sin(x)cos(y)=sin(x+y)+sin(x-y)で、y=60°とおく。
また、積和公式で、y=36°とおいたものから、y=72°とおいたものを引いて、cos(36°)-cos(72°)=1/2を使う。
ちなみに、cos(36°)-cos(72°)=2sin(18°)sin(54°)
=2sin(18°)sin(72°)*2sin(36°)sin(54°)/(2sin(36°)sin(72°))=1/2
(以下、単位は、[rad])
(where n=1,2,3,...)
※参考URL
●kadai78