＜放物線y=x^2+Kが楕円x^2+4y^=4と異なる4点で交わるための定数kの値の範囲＞
x^2=y-kをx^2+4y^2=4に代入して整理すると
(y-k)+4y^2=4
∴4y^2+y-(k+4)=0・・・(1)
放物線y=x^2+kと楕円x^2+4y^=4はy軸に関して対称である。
よって、異なる４点で交わる条件は、
ｙの2次方程式(1)が-1<y<1において異なる２つの実数解をもつことである。
この条件は、(1)の左辺をf(y)とすると、次の通り。
f(y)=4(y^2+y/4)-(k+4)
=4{(y+1/8)^2-1/64}
=4(y+1/8)^2-1/16-(k+4)
=4(y+1/8)^2-(k+65/16)
[1]実数条件(頂点の条件)
判別式をDとして、
D=1-4(4){-(k+4)}>0
∴1+16(k+4)>0
∴k>-65/16・・・(2)
[2]軸の条件
軸-1/8だから、
-1<-1/8<1を満たしている。
[3]端の条件
f(1)=1-k>0から、k<1・・・(3)
f(-1)=-1-k>0から、k<-1・・・(4)
以上[1],[2],[3]から、(2)、(3)、(4)の共通範囲より
−65/16<k<−1・・・(5)※この問題の場合、軸が定数だったから、よかったのですが、一応、吟味しておくのが無難かと思います。
実数条件と端の条件だけでは、ｙの2解をy1,y2とすると、
y1,y2<-1の場合や1＜y1,y2の場合も実数条件と端の条件は、同じ条件式、つまり、(2)、(3)、(4)と同じ式になってしまいます。軸の条件が抜けてしまうと同値性が損なわれてしまうのでしょう。
※参考URL
http://q.hatena.ne.jp/1289706614
●[PDF] 解の存在範囲の確認
http://izumi-math.jp/S_Yoshida/matome/s1_2jikansu_sonzaihanni.pdf
●特定の範囲に解をもつための2次方程式の条件
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/kansuu/2jihouteisiki/henkan-tex.cgi?target=/math/category/kansuu/2jihouteisiki/kansuu-no-jyouken.html
