Langleyの問題を三角関数で解いてみた。

　ラングレーの問題(Langley’s Adventitious Angles)を三角関数で解いてみました。こういった類の問題はプログラムを作って解いてもあまり役に立たないので数学の解答的に三角関数を使って解いてみました。(^_^;
　問題の設定や図は、次の通りです。(前回の記事を参照)

　a = 20°, b = 60°, c = 50°, d = 30°

　次の連立方程式(1),(2)式を使って解きます。ただし、e=180°-(b+c+d), f=180°-(a+b+c)
$x+y=b+c \cdots(1)$
$\frac{\sin\left(a\right)\cdot\sin\left(c\right)\cdot\sin\left(e\right)\cdot\sin\left(y\right)}{\sin\left(b\right)\cdot\sin\left(d\right)\cdot\sin\left(x\right)\cdot\sin\left(f\right)}=1 \cdots(2)$
　ちなみに、(2)式は正弦定理を使って導きました。形が綺麗なので公式集を探せば多分どこかにあるでしょう。(^_^;
P.S.

　ちなみに、(2)式を正弦定理から導くと、次の通りです。(^_^;
　△ABCについて、正弦定理から、 $\frac{AB}{\sin(c)}=\frac{BC}{\sin(f)}$
　△BCDについて、正弦定理から、 $\frac{BC}{\sin(e)}=\frac{CD}{\sin(b)}$
　△CDAについて、正弦定理から、 $\frac{CD}{\sin(y)}=\frac{DA}{\sin(d)}$
　△DABについて、正弦定理から、 $\frac{DA}{\sin(a)}=\frac{AB}{\sin(x)}$
　ゆえに、以上をかけて、
$\frac{AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA}{\sin(a)\sin(c)\sin(e)\sin(y)}=\frac{AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA}{\sin(b)\sin(d)\sin(x)\sin(f)}$
　以下省略 (ry

　変数部分と定数部分に分けるために次のように変形して、(1)',(2)'式の定数部分をそれぞれP,Qとおきます。
$x+y=b+c=P \cdots(1)'$
$\frac{\sin\left(y\right)}{\sin\left(x\right)}=\frac{\sin\left(b\right)\cdot\sin\left(d\right)\cdot\sin\left(f\right)}{\sin\left(a\right)\cdot\sin\left(c\right)\cdot\sin\left(e\right)}=Q \cdots(2)'$

　このとき、
$\tan\left(x\right)=\left(\frac{\sin\left(P\right)}{\cos\left(P\right)+Q}\right)\cdots(3)$
$\tan\left(y\right)=\left(\frac{\sin\left(P\right)}{\cos\left(P\right)+\frac{1}{Q}}\right)\cdots(4)$
　よって、
$x=\tan ^{-1}\left(\frac{\sin\left(P\right)}{\cos\left(P\right)+Q}\right) \cdots(5)$
$y=\tan ^{-1}\left(\frac{\sin\left(P\right)}{\cos\left(P\right)+\frac{1}{Q}}\right) \cdots(6)$

　プログラムを作って解く場合は、(5)や(6)式を使って解くわけですが、数学の解答的には、(1)'と(2)'式を使って解きます。(3),(4)式などを使って解く方法もあるようですが、計算がちょっと大変なようです。(^_^;
　定数部分Qを変形して、
$Q=\cdots=\frac{\sin\left(\beta\right)}{\sin\left(\alpha\right)}$
の形を導くことができて、このとき、
$\alpha+\beta=P$
となっていたら、x=α、y=βは連立方程式(1)',(2)'の解であるとして求めます。(^_^;
P.S.

　ちなみに、(1)',(2)'から、
$f(x)=\frac{\sin(P-x)}{\sin(x)}-Q$ と置くと、
　 $Q=\frac{\sin(\beta)}{\sin(\alpha)}$ で、α+β=Pのとき、 $Q=\frac{\sin(P-\alpha)}{\sin(\alpha)}$ だから、
$f(x)=\frac{\sin(P-x)}{\sin(x)}-\frac{\sin(P-\alpha)}{\sin(\alpha)}$
∴ $f(\alpha)=\frac{\sin(P-\alpha)}{\sin(\alpha)}-\frac{\sin(P-\alpha)}{\sin(\alpha)}=0$
∴x=αは、f(x)=0の解である。(ry

　なお、定数部分Qの式変形の時に役に立ちそうな公式は次の通りです。

$\sin\left(x\right)=\sin\left(180^{\circ}-x\right)=\cos\left(90^{\circ}-x\right)$

●2x系

$\sin\left(2x\right)=2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)=2\sin\left(x\right)\sin\left(90^{\circ}-x\right)$

$\sin\left(10^{\circ}\right)=2\sin\left( 5^{\circ}\right)\sin\left(85^{\circ}\right)$
$\sin\left(20^{\circ}\right)=2\sin\left(10^{\circ}\right)\sin\left(80^{\circ}\right)$
$\sin\left(30^{\circ}\right)=2\sin\left(15^{\circ}\right)\sin\left(75^{\circ}\right)$
$\sin\left(40^{\circ}\right)=2\sin\left(20^{\circ}\right)\sin\left(70^{\circ}\right)$
$\sin\left(50^{\circ}\right)=2\sin\left(25^{\circ}\right)\sin\left(65^{\circ}\right)$
$\sin\left(70^{\circ}\right)=2\sin\left(35^{\circ}\right)\sin\left(55^{\circ}\right)$
$\sin\left(80^{\circ}\right)=2\sin\left(40^{\circ}\right)\sin\left(50^{\circ}\right)$

$2\sin\left(x\right)=\frac{\sin\left(x\right)}{\sin\left(30^{\circ}\right)}=\frac{\sin\left(2x\right)}{\sin\left(90^{\circ}-x\right)} \left( =\frac{\sin\left(180^{\circ}-x\right)}{\sin\left(30^{\circ}\right)}=\frac{\sin\left(180^{\circ}-2x\right)}{\sin\left(90^{\circ}-x\right)} \right)$

●3x系

$\sin\left(3x\right)=4\sin\left(x\right)\sin\left(60^{\circ}- x\right)\sin\left(60^{\circ}+x\right)$

P.S.
　ちなみに、証明は、次の公式を使えば簡単にできます。(^_^;

　4 sin(a)cos(b)cos(c) = +sin(a+b+c)+sin(a+b-c)+sin(a-b+c)+sin(a-b-c)
　sin(x) = sin(x+60°)+sin(x-60°)

$\sin\left(15^{\circ}\right)=4\sin\left( 5^{\circ}\right)\sin\left(55^{\circ}\right)\sin\left(65^{\circ}\right)$
$\sin\left(30^{\circ}\right)=4\sin\left(10^{\circ}\right)\sin\left(50^{\circ}\right)\sin\left(70^{\circ}\right)$
$\sin\left(45^{\circ}\right)=4\sin\left(15^{\circ}\right)\sin\left(45^{\circ}\right)\sin\left(75^{\circ}\right) \therefore 1=4\sin\left(15^{\circ}\right)\sin\left(75^{\circ}\right)$
$\sin\left(60^{\circ}\right)=4\sin\left(20^{\circ}\right)\sin\left(40^{\circ}\right)\sin\left(80^{\circ}\right)$
$\sin\left(75^{\circ}\right)=4\sin\left(25^{\circ}\right)\sin\left(35^{\circ}\right)\sin\left(85^{\circ}\right)$

●4x系

$\sin\left(4x\right)=4\sin\left(x\right)\sin\left(90^{\circ}-2x\right)\sin\left(90^{\circ}-x\right)$

$\sin\left(20^{\circ}\right)=4\sin\left( 5^{\circ}\right)\sin\left(80^{\circ}\right)\sin\left(85^{\circ}\right)$
$\sin\left(40^{\circ}\right)=4\sin\left(10^{\circ}\right)\sin\left(70^{\circ}\right)\sin\left(80^{\circ}\right)$
$\sin(60^{\circ})=4\sin(15^{\circ})\sin(60^{\circ})\sin(75^{\circ})\therefore 1=4\sin(15^{\circ})\sin(75^{\circ})$
$\sin(72^{\circ})=4\sin(18^{\circ})\sin(54^{\circ})\sin(72^{\circ})\therefore 1=4\sin(18^{\circ})\sin(54^{\circ})$
$\sin\left(80^{\circ}\right)=4\sin\left(20^{\circ}\right)\sin\left(50^{\circ}\right)\sin\left(70^{\circ}\right)$

$\sin\left(4x\right)=4\sin\left(2x\right)\sin\left(45^{\circ}-x\right)\sin\left(45^{\circ}+x\right)$
$\sin\left(2x\right)=4\sin\left(x\right)\sin\left(45^{\circ}-\frac{x}{2}\right)\sin\left(45^{\circ}+\frac{x}{2}\right)$
$\cos(2x)=2\cos(45^{\circ}-x)\cos(45^{\circ}+x)=2\sin(45^{\circ}-x)\sin(45^{\circ}+x)$

$\sin\left(20^{\circ}\right)=4\sin\left(10^{\circ}\right)\sin\left(40^{\circ}\right)\sin\left(50^{\circ}\right)$
$\sin\left(36^{\circ}\right)=4\sin\left(18^{\circ}\right)\sin\left(36^{\circ}\right)\sin\left(54^{\circ}\right) \therefore 1=4\sin\left(18^{\circ}\right)\sin\left(54^{\circ}\right)$
$\sin\left(40^{\circ}\right)=4\sin\left(20^{\circ}\right)\sin\left(35^{\circ}\right)\sin\left(55^{\circ}\right)$
$\sin\left(80^{\circ}\right)=4\sin\left(25^{\circ}\right)\sin\left(40^{\circ}\right)\sin\left(65^{\circ}\right)$

　では、実際に問題を解いてみます。
　a = 20°, b = 60°, c = 50°, d = 30°
このとき、e = 180°-(60+50+30)°= 40°, f = 180°-(20+60+50)°= 50°
∴
$x+y=60^{\circ}+50^{\circ}=110^{\circ}=P \cdots(1)$
$\frac{\sin\left(y\right)}{\sin\left(x\right)}=\frac{\sin\left(60^{\circ}\right)\cdot\sin\left(30^{\circ}\right)\cdot\sin\left(50^{\circ}\right)}{\sin\left(20^{\circ}\right)\cdot\sin\left(50^{\circ}\right)\cdot\sin\left(40^{\circ}\right)}=Q \cdots(2)$
　(2)式から、
$Q=\frac{\sin\left(60^{\circ}\right)\cdot\sin\left(30^{\circ}\right)}{\sin\left(20^{\circ}\right)\cdot\sin\left(40^{\circ}\right)}$
　上の公式集から、 $\sin\left(60^{\circ}\right)=4\sin\left(20^{\circ}\right)\sin\left(40^{\circ}\right)\sin\left(80^{\circ}\right)$ だから、
$Q=\frac{4\sin\left(20^{\circ}\right)\sin\left(40^{\circ}\right)\sin\left(80^{\circ}\right)\cdot\sin\left(30^{\circ}\right)}{\sin\left(20^{\circ}\right)\cdot\sin\left(40^{\circ}\right)}=2\sin\left(80^{\circ}\right)$
　上の公式集から、 $2\sin\left(x\right)=\frac{\sin\left(x\right)}{\sin\left(30^{\circ}\right)}$ だから、
$Q=\frac{\sin\left(80^{\circ}\right)}{\sin\left(30^{\circ}\right)}$
このとき、30°+80°=110°を満たしているので、x = 30°, y = 80°は、連立方程式(1),(2)の解である。

※参考URL
●Web Equation
●mimetex.html
●Angular Angst - MathPages
●Langleyの問題をJavaで解いてみた。
●Langleyの問題を三角関数で解いてみた。(2)
●半整数角四角形の問題を解いてみた。
●sin(3°)系列
●sin(3°)系列 (2)
●Langleyの問題を三角関数で解いてみた。(3)

P.S.
　ちょっと検索してみたら、似ている解法を見つけました。こちらの方のは、1変数で解かれているようです。
●［PDF］ x

$\frac{\sin\left(x+e\right)}{\sin\left(x\right)}=\frac{\sin\left(a+b\right)\cdot\sin\left(d\right)}{\sin\left(a\right)\cdot\sin\left(c\right)}$

P.S.
　ちなみに、この式を使って、式変形で解を見つけてみると、
$\frac{\sin(x+40^{\circ})}{\sin(x)}=\frac{\sin(80^{\circ})\sin(30^{\circ})}{\sin(20^{\circ})\sin(50^{\circ})}=\frac{4\sin(20^{\circ})\sin(50^{\circ})\sin(70^{\circ})\sin(30^{\circ})}{\sin(20^{\circ})\sin(50^{\circ})}=2\sin(70^{\circ})=\frac{\sin(70^{\circ})}{\sin(30^{\circ})}$
$f(x)=\frac{\sin(x+40^{\circ})}{\sin(x)}-\frac{\sin(70^{\circ})}{\sin(30^{\circ})}$ とおくと、
$f(30^{\circ})=\frac{\sin(30^{\circ}+40^{\circ})}{\sin(30^{\circ})}-\frac{\sin(70^{\circ})}{\sin(30^{\circ})}=0$
(ry