知恵袋で見つけたラングレーの問題を三角関数で解いてみた。

　知恵袋で見つけたラングレーの問題を三角関数で解いてみました。(^_^;
　問題の設定や図は、次の通りです。元ネタは、1995年の算数オリンピックのようです。(^_^;

　a = 12°, b = 36°, c = 48°, d = 24°

　このとき、e = 180°-(36+48+24)°= 72°, f = 180°-(12+36+48)°= 84°
　ふつう、5や10の倍数の角だけの問題でない場合は、式変形で解を見つけるのは難しいことが多いのですが、この問題では式変形で解を見つけることができるようです。
　いつもの様に(cf.)、x,yの連立方程式を立てて、変数部分と定数部分P,Qに分けると、
$x+y=36^{\circ}+48^{\circ}=84^{\circ}=P \cdots(1)$
$\frac{\sin(y)}{\sin(x)}=\frac{\sin(36^{\circ})\sin(24^{\circ})\sin(84^{\circ})}{\sin(12^{\circ})\sin(48^{\circ})\sin(72^{\circ})}=Q \cdots(2)$
　(1),(2)から、yを消去して、
$\frac{\sin(84^{\circ}-x)}{\sin(x)}=\frac{\sin(24^{\circ})\sin(36^{\circ})\sin(84^{\circ})}{\sin(12^{\circ})\sin(48^{\circ})\sin(72^{\circ})}=Q \cdots(3)$
　3倍角の積化公式 $\sin(3x)=4\sin(x)\sin(60^{\circ}- x)\sin(60^{\circ}+x)$ から、
　 $\sin(72^{\circ})=4\sin(24^{\circ})\sin(36^{\circ})\sin(84^{\circ})$
　 $\sin(36^{\circ})=4\sin(12^{\circ})\sin(48^{\circ})\sin(72^{\circ})$
∴ $Q=\frac{\sin(72^{\circ})}{\sin(36^{\circ})}=\frac{2\sin(36^{\circ})\sin(54^{\circ})}{\sin(36^{\circ})}=2\sin(54^{\circ})=\frac{\sin(54^{\circ})}{\sin(30^{\circ})}$ ･･･(4)
　 $f(x)=\frac{\sin(84^{\circ}-x)}{\sin(x)}-\frac{\sin(24^{\circ})\sin(36^{\circ})\sin(84^{\circ})}{\sin(12^{\circ})\sin(48^{\circ})\sin(72^{\circ})}$ とおくと、(4)から、
　 $f(x)=\frac{\sin(84^{\circ}-x)}{\sin(x)}-\frac{\sin(54^{\circ})}{\sin(30^{\circ})}$
　 $f(30^{\circ})=\frac{\sin(84^{\circ}-30^{\circ})}{\sin(30^{\circ})}-\frac{\sin(54^{\circ})}{\sin(30^{\circ})}=0$
∴x=30°は、f(x)=0の解である。