知恵袋で見つけたラングレーの問題を三角関数で解いてみた。(2)

　知恵袋で見つけたラングレーの問題を三角関数で解いてみました。(^_^;
　問題の設定や図は、次の通りです。ただし、元の問題を90°右に回転させて元のB,C,D,AをA,B,C,Dと設定し直しました。(^_^;

　a = 100°, b = 20°, c = y, d = x, e = 110°,X = 30°

　この問題の場合、いつもの2変数の公式が使いづらいので、ネットで検索して見つけた次の1変数の公式を使います。(^_^;

　 $\frac{\sin(X+e)}{\sin(X)}=\frac{\sin(a+b)\cdot\sin(d)}{\sin(a)\cdot\sin(c)}$ 　ここで、e = 180°-(b+c+d)

　よって、
　 $\frac{\sin(30^\circ+110^\circ)}{\sin(30^\circ)}=\frac{\sin(100^\circ+20^\circ)\cdot\sin(x)}{\sin(100^\circ)\cdot\sin(y)}$
∴ $\frac{\sin(y)}{\sin(x)}=\frac{\sin(120^\circ)\cdot\sin(30^\circ)}{\sin(100^\circ)\cdot\sin(140^\circ)}=Q \dots(1)$
　 $110^\circ=180^\circ-(20^\circ+y+x)$
∴ $x+y=50^\circ \dots(2)$
　(1),(2)から、yを消去して、
　 $\frac{\sin(50^\circ-x)}{\sin(x)}=\frac{\sin(60^\circ)\cdot\sin(30^\circ)}{\sin(80^\circ)\cdot\sin(40^\circ)}=Q \dots(3)$
　3倍角の積化公式 $\sin(3x)=4\sin(x)\sin(60^\circ- x)\sin(60^\circ+x)$ から、
　 $\sin(60^\circ)=4\sin(20^\circ)\sin(40^\circ)\sin(80^\circ)$
∴ $Q=\frac{4\sin(20^\circ)\sin(40^\circ)\sin(80^\circ)\sin(30^\circ)}{\sin(40^\circ)\sin(80^\circ)}=2\sin(20^\circ)=\frac{\sin(20^\circ)}{\sin(30^\circ)}$ ･･･(4)
　(3)から、
　 $f(x)=\frac{\sin(50^\circ-x)}{\sin(x)}-\frac{\sin(60^\circ)\cdot\sin(30^\circ)}{\sin(80^\circ)\cdot\sin(40^\circ)}$ とおくと、(4)から、
　 $f(x)=\frac{\sin(50^\circ-x)}{\sin(x)}-\frac{\sin(20^\circ)}{\sin(30^\circ)}$
　 $f(30^\circ)=\frac{\sin(50^\circ-30^\circ)}{\sin(30^\circ)}-\frac{\sin(20^\circ)}{\sin(30^\circ)}=0$
∴x=30°は、f(x)=0の解である。